2021年A試験の問題です。

3つの角が30°，60°，90°の三角形を三角形（あ）とします。
このとき，次の問いに答えなさい。
（1）　三角形（あ）は，60°の角をはさむ辺の長さの比が必ず2：1になっています。その理由を説明しなさい。
（2）　図1のような二等辺三角形の面積を求めなさい。
（3）　60°の角をはさむ辺の長さが8cm，4cmの三角形（あ）を2つ使って，図2のような二等辺三角形ABCを作ります。
　　また，辺BC上にCD＝3cmとなるように点Dをとり，辺AC上に角アと角イが等しくなるような点Eをとります。このとき，三角形BDEの面積を求めなさい。ただし，途中の考え方も書きなさい。

【解説と解答】
（１）

三角形（あ）を右図のように2枚、組み合わせた三角形は∠ABCと∠ADCと∠BADが60°になるので、正三角形。
したがってABはBDと等しくなり、BDはBCの2倍になるので60°をはさむ辺は必ず２：１になる。

（２）

（１）からAD＝8÷２＝４cm
三角形ABC＝8×４÷２＝16cm2
（答え）16cm2

（３）

∠アと∠イが同じで∠ABCと∠ACB＝30°ですから、三角形ABDと三角形EDCは相似。
図でEからBCに垂線を下ろし、BCとの交点をG、BCの中点をFとすると
AF：EG＝４：EG＝BD：DC＝BD：３
EG×BD＝４×３＝12より三角形BDEの面積は12÷２＝６cm2
（答え）6cm2