次の表のように、数を5で割った余りによって、5種類のグループに分類します。 この表を参考にして、次の問いに答えなさい。

(1)「余りが1」のグループから2つの数を取り出し、その2つの数の積を作ります。 この積はどのグループの数になりますか。下の選択肢ア～オの中から1つ選び、 記号で答えなさい。
【選択肢】
ア 「余りが1」のグループ イ 「余りが2」のグループ
ウ 「余りが3」のグループ エ 「余りが4」のグループ
オ 「余りなし」のグループ
(2)下の選択肢ア～ケの中で、2つの数の積が「余りが1」のグループになる組み合わせとして適するものをすべて選び、記号で答えなさい。
【選択肢】
ア 「余りが1」のグループと「余りが2」のグループから1つずつの数
イ 「余りが1」のグループと「余りが3」のグループから1つずつの数
ウ 「余りが1」のグループと「余りが4」のグループから1つずつの数
エ 「余りが2」のグループから2つの数
オ 「余りが2」のグループと「余りが3」のグループから1つずつの数
カ 「余りが2」のグループと「余りが4」のグループから1つずつの数
キ 「余りが3」のグループから2つの数
ク 「余りが3」のグループと「余りが4」のグループから1つずつの数
ケ 「余りが4」のグループから2つの数
(3)3つの袋A、B、Cがあります。それぞれの袋には25個の球が入っており、それらの球には1から25までの数が1つずつかかれています。
袋A、B、Cから球を1個ずつ取り出すとき、取り出した3つの球にかかれている数の積が、5で割ると1余る数になる取り出し方は何通りありますか。

【解説と解答】
(1) ６×11＝66、11×21＝231、のように１の位が必ず１か６になるので、「余りが１」のグループになります。
(答え)ア
(2)１の位が１か６になればいいので、「余りが２」のグループと「余りが３」のグループから１つずつ選ぶ場合と、「余りが４」のグループから２つ選ぶ場合の２つが必ず１のグループになります。

(答え)オ、ケ
(3) (1) (2)から2数の場合は以下のア～ウの場合、１の位が「余りが１」のグループになります。
「余りが１」のグループから2数…ア
「余りが２」のグループと「余りが３」のグループから１数ずつ…イ
「余りが４」のグループから2数…ウ
があります。したがって３つの積の場合は
ア、イ、ウにそれぞれ「余りが１」のグループの数をかけることになります。
「余りが１」のグループから「余りなし」の数までは１～25の間にそれぞれ５個あります。
A、B、Cの積で考えると
①全部の数が「余りが１」のグループ
②「余りが２」のグループと「余りが３」のグループと「余りが１」のグループ
③「余りが４」のグループ２つと「余りが１」のグループ１つ
さらに、
④「余りが３」のグループ２つと「余りが４」のグループ１つ
⑤「余りが２」のグループ２つと「余りが４」のグループ１つ
が「余りが１」のグループになります。
①は５×５×５＝125通り。
②は5×5×5×３×２×１＝750通り　
③、④、⑤は5×5×5×３＝375通り

125＋750＋375×３＝2000
(答え)2000通り

右の図のように、1辺の長さが7cmの正三角形ABCの各辺を７等分する点を結んでできた点線の上を、Aから出発して、B、C、……と経由して、 Iまで進むルートを考えます。
動く2つの点Xと点Yは、このルート上を、同時に点Aを出発して、点Xは毎秒3.5 cm の速さで、点Yは毎秒1.5 cm の速さで、点Iまで移動します。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)点Xが点Iに到達するまでに、点Yが移動した距離は何cmですか。

(2)点Xが点Cに到達したとき、三角形XIYの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

(3)三角形AXYが正三角形となるのは何回ありますか。また、それはXとYがAを出発してから、何秒後ですか。

【解説と解答】
（１）ABが７cm、BCが7cm、CDが６cm、DEが５cm、EFが４cmとBCから1cmずつ短くなって最後IHが1cmです。（１＋７）×７÷２＋７＝35cmですから
35÷3.5＝10秒　したがってYが移動した距離は1.5×10＝15cm

（答え）15cm

（２）点XがCに到達したとき、14cm移動していますから、14÷3.5＝4秒後
Yは1.5×４＝6cmですから、Bの手前1cmのところにいます。右図でXI：IP＝４：３です。
またPY：YB＝2.5：１＝５：２

三角形XIYは三角形ABCの××＝

（答え）倍

（３）（２）から、XがCのとき、YがB手前1cmですから、１÷（3.5＋1.5）＝0.2秒後にXYはBCに平行になるので、これが1回目で4.2秒後。
三角形AXYが正三角形になるためには、XとYがAB上もしくはAC上にいなければならないので、これ以外にはありません。
（答え）１回、4.2秒後

【動画解説】

2022年Aの問題です。

水の入っている水そうＡと水そうＢ、そして、水を汲みだすためのポンプが何本かあります。また、水そうＡに入っている水の量は水そうＢに入っている水の量の２倍です。はじめの20分は、全てのポンプを使って水そうＡの水を汲みだします。次に、ポンプの数をちょうど半分ずつに分け、半分で水そうＡの水を、もう半分で水そうＢの水を汲みだします。すると、ちょうど20分で水そうＡのすべての水を汲みだすことができましたが、水そうＢにはまだ水が残っていました。そこで、ポンプの数を変えて水そうＢの水を汲みだすと、さらに12分で水そうＢのすべての水を汲みだすことができました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、すべてのポンプとも１分あたりに汲みだす水の量は一定であるとします。
（１）「汲みだす前の水そうＡの水の量」に対する「はじめの20分で汲みだした水の量」を、もっとも簡単な分数で答えなさい。
（２）　最後の12分で汲みだした水をすべてのポンプを使って汲みだそうとすると、汲みだすのに何分かかりますか。
（３）　ここまでの条件では、はじめにあったポンプの総数は決まりません。
ここまでの条件をすべて満たすポンプの総数のなかで最も小さい数を答えなさい。ただし、途中の考え方も書きなさい。
【式と考え方】

【解説と解答】
（１）最初の20分で全てのポンプを使ってAの水を出したので、すべてのポンプが1分間で出せる水の量を【2】とすると【40】です。
一方次の20分では半々にしたので、その20分ではAもBも【20】ずつ汲みだしました。Aは空になったので、Aに入っていた水は【60】ですから、40÷60＝2/3
（答え）2/3

（２）
BはAの半分ですから【30】です。そのうち【20】は次の20分で出しているので、残りは【10】これを全部のポンプを使えば【10】÷【2】＝5分でなくなります。
（答え）5分

（３）最後の12分で出した水の量は【10】ですから1分あたり【5/6】です。したがって
この量を1台でだすと、【1】は1.2本になります。これを整数にするには【1】＝6本になるので、【2】＝12本
（答え）12本

2022年の出題です。

下の図のような，Ａ駅とＢ駅の間にある公園に行くのに，手前にあるＡ駅で電車を降りて歩いて行くより，一つ先のＢ駅で電車を降りて歩いて行く方が２分早く到着できます。Ａ駅とＢ駅の間の道のりは３kmで，電車の速さは時速45 km， 歩く速さは時速4.2kmでそれぞれ一定の速さとするとき，公園はＢ駅から何kmの所にありますか。

【解説と解答】
時速45kmで3kmを移動すると4分かかります。
Bについたとき、Aからスタートするとすでに4分進んでいますが、結局2分早くつくので、Aから向かうのとBから向かうのでは6分の差があることがわかります。
時速4.2kmで6分いくのにかかる速さは0.42kmですから、
（３－0.42）÷２＝2.58÷２＝1.29
（答え）1.29km

2021年A試験の問題です。

3つの角が30°，60°，90°の三角形を三角形（あ）とします。
このとき，次の問いに答えなさい。
（1）　三角形（あ）は，60°の角をはさむ辺の長さの比が必ず2：1になっています。その理由を説明しなさい。
（2）　図1のような二等辺三角形の面積を求めなさい。
（3）　60°の角をはさむ辺の長さが8cm，4cmの三角形（あ）を2つ使って，図2のような二等辺三角形ABCを作ります。
　　また，辺BC上にCD＝3cmとなるように点Dをとり，辺AC上に角アと角イが等しくなるような点Eをとります。このとき，三角形BDEの面積を求めなさい。ただし，途中の考え方も書きなさい。

【解説と解答】
（１）

三角形（あ）を右図のように2枚、組み合わせた三角形は∠ABCと∠ADCと∠BADが60°になるので、正三角形。
したがってABはBDと等しくなり、BDはBCの2倍になるので60°をはさむ辺は必ず２：１になる。

（２）

（１）からAD＝8÷２＝４cm
三角形ABC＝8×４÷２＝16cm2
（答え）16cm2

（３）

∠アと∠イが同じで∠ABCと∠ACB＝30°ですから、三角形ABDと三角形EDCは相似。
図でEからBCに垂線を下ろし、BCとの交点をG、BCの中点をFとすると
AF：EG＝４：EG＝BD：DC＝BD：３
EG×BD＝４×３＝12より三角形BDEの面積は12÷２＝６cm2
（答え）6cm2