容積に関する問題

半径6cm、高さ35cmの円柱の容器に、底面から15cmの高さまで水が入ってい ます。この中に半径2cm、高さ25cmの円柱の鉄の棒を1本ずつまっすぐに立てて入れていきます。

(1)鉄の棒を1本入れたとき、水面は何cm上昇しますか。
(2)入れた鉄の棒のすべてが、初めて完全に水の中に入るのは、鉄の棒を何本入れたときですか。また、そのときの水面の高さを求めなさい。

【解説と解答】
(1)水の容積は6×6×3.14×15=540×3.14です。
1本入れると、底面積は(6×6-2×2)×3.14=32×3.14になるので、
540×3.14÷(32×3.14)=167/8cmになりますから
16&7/8―15=1&7/8cm水面が上がります。
(答え)1&7/8cm
水の容積が高さ25cmになるのは
540×3.14÷25=21.6×3.14です。
36-21.6=14.4から14.4÷4=3.6なので4本入れると水の高さが25cmを超えます。
4本入れると、2×2×3.14×25×4=400×3.14の容積が増えるので、
(540+400)×3.14÷(36×3.14)=940÷36=26&1/9

(答え)4本、26&1/9cm

カテゴリー: 入試問題研究, 算数 | コメントする

立体図形に関する問題

2022年第2回の問題です。

図1は底面の直径が6cm、高さが3cmの円柱です。また、図2の立体の上の面は直径が6cm、下の面は直径が4cmの円で、高さは3cmです。

図1の円柱から図2の立体をくり抜いたところ、図3の立体ができました。図3の立体の体積を求めなさい。

【解説と解答】
図2の円錐台は上の面の直径が6cm、下の面の直径が4cmですから3:2。
したがってちょうど1の部分の高さが3cmになるので、
底面の半径が3cm、高さ9cmの円錐から底面の半径が2cm、高さ6cmの円錐をひいたものに等しくなります。
したがってこの円錐台の体積は
3×3×3.14×9÷3-2×2×3.14×6÷3=(27-8)×3.14
=19×3.14
円柱の体積は3×3×3.14×3=27×3.14
よって(27-19)×3.14=8×3.14=25.12
(答え)25.12cm3

カテゴリー: 入試問題研究, 算数 | コメントする

速さに関する問題

友子さんと弟の学さんは家から学校へ、同じまっすぐな道を通って向かいました。友子さんは歩いてバス停に行き、6分間待ってからバスに乗り、降りてからまた歩いて学校へ向かいました。学さんは、友子さんが出発してから16分後に自転車で学校に向かい、校門でちょうど追いつきました。グラフは、友子さんが家を出発してからの時間と友子さんと学さんの距離の関係を表したものです。歩く速さ、バスの速さ、自転車の速さはそれぞれ一定です。

(1)友子さんの歩く速さは分速何mですか。
(2)バスの速さは時速何kmですか。
(3)家から学校までの距離は何kmですか。

【解説と解答】
(1)14分で980m離れているので、980÷14=70m
(答え)70m
(2)友子さんは6分待っているので、差が180mになったのは20分後です。
そこから6分で差が2340-180=2160mになりましたから、バスと自転車の分速の差は2160÷6=360m
一方4分で差が800m縮まったので、自転車の分速は800÷4=200mです。したがってバスの分速は200+360=560mで、求めるのは時速ですから、
560×60÷1000=33.6km
(答え)33.6km
(3)学さんの速さは分速200mです。
2340÷130=18分ですから、学さんは26+18-16=28分で学校まで行ったので、200×28=5600m=5.6km
(答え)5.6km

カテゴリー: 入試問題研究, 算数 | コメントする