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算数 文章題

2022年 第2回の出題です。

体育館で学年集会を行うことになりました。9人がけの長いすを使って、全員が前から順に着席していきます。ただし人と人の間隔を1メートル以上空ける必要があるため、9人がけの長いすには1つおきにしか座れません。図1のように5人ずつ座ると長いすの数が少なくてすみますが、図2のように前から5人、4人、5人、…と交互に座ると長いすと長いすの間隔をせまくできます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)学年の生徒数が240人のとき、図2のように座ると、図1のときに比べて長いすは何脚多く必要ですか。
(2)学年の生徒数が(   )人のとき、図1のときと図2のときの長いすの数の差が3脚で、どちらも最後列の長いすに座る人数が4人でした。(   )に入る数として考えられるものをすべて答えなさい。
(3)図1のときと図2のときの長いすの数の差が4脚のとき、考えられる生徒数として最も少ないのは何人ですか。

【解説と解答】
(1)240人の場合、図1のようにすわると長椅子は240÷5=48脚いります。
一方図2の場合は240÷9=26.…6ですから、2×26+2=54脚いります。
54-48=6脚
(答え)6脚
(2)図1のときの長椅子の数を【1】とすると、
生徒の数は5×【1】-1=【5】-1となります。
図2の場合、最後の長椅子が4人ですが、それが(ア)5人がけの場合と(イ)4人がけの場合で違います。
(ア)人数は(【1】+2)÷2×9+4=【4.5】+13
(イ)人数は(【1】+3)÷2×9=【4.5】+13.5
(ア)の時【5】-1=【4.5】+13から【0.5】=14 【1】=28となるので、
人数は28×5―1=139人
(イ)のときは【4.5】+13.5=【5】-1 【0.5】=14.5から【1】=29となるので、29×5-1=144人
(答え)139人、144人
(3)図2の座り方で、図1の座り方との差が一番小さくなることを考えます。
図1の座り方ですべての椅子が5人がけになったとき、図2の座り方ではそれより4つ椅子が多いので、
(ウ)図1の座り方が奇数の場合
残りの4つの椅子は4+5+4+1=14人が最小になります。
(エ)図1の座り方が偶数の場合
残りの4つの椅子は5+4+5+1=15人が最小になります。
(ウ)2つの椅子で1人の差ができるので、14人の差ができるのは
図1の座り方で2×14+1=29脚 このとき図1の座り方では145人、図2の座り方でも(29+1)÷2×9+5+4+1=135+10=145人になります。
(エ)15人の差ができるので、図1の座り方でいすの数は15×2=30脚になるので、
図1の座り方で5×30=150人 図2の座り方で9×30÷2+15=150人
したがって一番少ない人数は145人
(答え)145人

範囲に関する問題

2022年第1回の出題です。

ある品物を500個作る仕事を、AとBの2人が毎日行うと56日目に終了します。同じ仕事をAとCの2人が毎日行うと46日目に終了し、BとCの2人が毎日行うと42日目に終了します。A、B、Cはそれぞれ1日に何個の品物を作りますか。ただし、A、B、Cが1日に作る品物の個数はそれぞれ一定で、整数であるとします。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

【解説と解答】
A×56+B×56>500からA+B≧9 A+B=10とすると50日で作り終えるので、
A+B=9
A×46+C×46>500からA+C≧11 A+C=12とすると、42日で作り終えるので
A+C=11
B×42+C×42>500からB+C≧12 B+C=13とすると、39日で作り終えるので
B+C=12
A+B+C=(9+11+12)÷2=16
C=7、B=5、A=4

(答え)A4 B5 C7

条件を整理する問題

2022年第1回の問題です。

A,B,C,Dの4人のうち1人だけ赤い帽子をかぶり,残りの3人は白い帽子をかぶっています。この4人が縦に1列に並んで次のような発言をしました。
 A「私のすぐ後ろの人は赤色の帽子だ。」
 B「Dは私より前にいる。」
 C「私の帽子は白色だ。私より前の人は全員白色の帽子だ。」
 D「私のすぐ後ろの人は白色の帽子だ。」
この発言がすべて正しいとき,4人の並んでいる順を前から順に答えなさい。

【解説と解答】
条件を並べてみます。
Aのすぐうしろは赤→Aは赤ではない→Aは白
DはBより前
Cは白、Cより前は白
Dのうしろは白、
から赤はDかBです。
Bが赤だとすると、Bの前はA、Dは1番目か2番目で白、Cの前は白、だからCが2番目、Dが1番目となります。
D(白)C(白)A(白)B(赤)
Dが赤だとすると、Aの後ろがD、DのうしろがC(白)かB(白)
A(白)D(赤)B(白)C(白)にするとCの前が全員白にならないので×。
A(白)D(赤)C(白)B(白)でもCの前が全員白にならないので×。
したがって答えはD(白)C(白)A(白)B(赤)
(答え)DCAB

文章題

2022年洗足学園第3回の問題です

花子さんは3種類のノートA,B,Cを合計30冊買い,代金は6900円でした。1冊の値段はAが300円,Bが240円,Cが165円です。AはBの2倍より6冊少なく買ったとすると,Cは何冊買いましたか。ただし,価格はすべて税込みで考えます。なお,この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

という問題でした。

記述式なのですが、洗足の採点は「答えが間違っていた時に記述を見て部分点を決める」ということになっています。だからあまり詳しく書きすぎて時間をロスするのはもったいない。ここでは面積図などを書いてしまう方が簡単に解けて説明ができるかもしれません。

解答としてはつるかめ算を使ってしまうのが簡単で、以下のようになります。

AがBの2倍より6冊少ないので、300×6=1800円加えると
6900+1800=8700円が全体になります。全部Cとすると6冊足したので全体が36冊になるから
165×36=5940なので、差は8700―5940=2760
AがBの2倍になっているので(300―165)×【2】+(240―165)×【1】
=【270】+【75】=【345】が2760円だから
2760÷345=8
36―8×3=12
(答え)12冊

これを面積図に書いてしまって、最後の部分の式だけを載せる、ぐらいで説明が済めば時間的にはそれほど時間がかからないでしょう。

比と割合に関する問題

2022年洗足学園第3回の問題です。

A,Bの2つのコップがあり,Aには食塩水,Bには水がそれぞれ400gずつ入っています。いまAからBに100g移してよく混ぜてから,BからAに100g移したところ,Aは濃度4%の食塩水になりました。最初にAには何%の食塩水が入っていましたか。

【解説と解答】
Aに入っていた食塩を【4】とすると、100g移したのでBには【1】だけ行きます。
そのあとBからAに100g入れると全体が500gになっているので、BからAに100g入れると【0.2】食塩が戻ります。
Aの重さは400gで、濃度が4%だと食塩は16gでこれが【4】-【1】+【0.2】=【3.2】ですから【1】=5g
したがってAに入っていた食塩は20gですから。20÷400×100=5%
(答え)5%

容積に関する問題

2022年第2回の出題。

図1の形をした容器に,水が深さ2cmまで入っています。この中に,底面の直径が2cm,厚さ1cmの円柱の形をしたコインを,図2のように4個ずつ積み上げた状態で全部で200個を容器に並べます。水面の高さは何cmになりましたか。ただし,このコインは水にしずみます。

【解説と解答】
問題はコインが水面の上に来るか、全部水没するか、です。
水槽の底面積が21×17=357
コインが占める底面積は200÷4=50枚分ですから、
1×1×3.14×50=157 したがって水が入る部分はちょうど200cm2になります。
水の体積は357×2=714 714÷200=3.57となり、4cmより小さいのでコインは全部水没していません。
(答え)3.57cm

速さに関する問題

2022年 洗足学園 第2回の問題です。

長さが180mの電車Aは時速60km で走ります。電車Bは,長さ600ⅿの橋をわたりきるのに28秒かかります。電車AとBが出会ってからすれちがうまでに9秒かかるとき,電車Bの長さは何mですか。なお,この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

【解説と解答】
電車Aの秒速は50/3mです。
電車Bの秒速を【1】mとすると、電車Bの長さ+600=【28】
一方電車AとBがすれ違う時には、電車Bの長さ+180=【9】+50/3×9=【9】+150
したがって600-30=【19】から電車Bの秒速は30ⅿ。
電車Bの長さは30×28-600=240m
(答え)240ⅿ

平面図形の問題

2022年洗足学園第1回の問題です。

下の図1は,正方形から4つの同じ形で大きさの等しい直角三角形を切り取ってつくった八角形です。この八角形の面積は265cm2で,8辺のうち4辺の長さは10cmでした。図2のように,八角形の10cmではない辺のそれぞれの真ん中の点を結んで四角形をつくったとき,この四角形の面積は何cm2ですか。

【解説と解答】

上図のように折り返したとき、八角形は★が8つと1辺が10cmの正方形になります。
したがって265-10×10=165
165÷2=82.5が★4つ分になるので、100+82.5=182.5

(答え)182.5cm2

文章題

2022年 第1回 算数の問題です。

祖母、母、娘の3人の年齢について、以下のことが分かっています。

・現在の3人の年齢の合計は120歳
・3年後、母と娘の年齢の比は3:1
・30年前、祖母と母の年齢の比は3:1

現在の娘の年齢は何歳ですか。

【解説と解答】
今の母と娘の年齢は母が【3】-3、娘が【1】-3です。

30年前の母は【3】-33ですから、祖母は30年前には【9】-99になるので、

現在は【9】-99+30=【9】-69

したがって3人の現在の年令の和は

【1】-3+【3】-3+【9】-69=【13】-75=120ですから

【13】=195 【1】=15ですから、娘は現在15-3=12歳です。

(答え)12歳

速さに関する問題

2021年第1回の算数【3】の(4)です、記述式の問題になります。

池の周りにある散歩道を,恵子さんと花子さんが歩きました。恵子さんは分速72mで時計回りにA地点から歩き出し,花子さんは恵子さんとは逆回りにB地点から歩き出します。2人はそれぞれA,B地点を同時に出発し,5分後
にはじめて出会いました。出会ってから4分後,花子さんはA地点を通過しました。2回目に2人が出会ってから9分24秒後,花子さんははじめてB地点に戻りました。この散歩道の1周は何mですか。なお,この問題は解答までの
考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

【解説と解答】

恵子さんが5分で行った距離と花子さんは4分で行くので、72×5÷4=90mが花子さんの分速になります。
2回目に出会ってから9分24秒で花子さんはBに戻ってきたので、2回目に出会ったところからBまでの距離は90×9.4分=846mです。
したがって1回目に出会ったところから2回目に出会ったところまで恵子さんが動く距離は90×5+846=450+846=1296mですから、
1296÷72=18分で行きます。花子さんはその間90×18=1620m動くので、1周は1296+1620=2916m
(答え)2916m