2024年　洗足学園第2回　算数5でうｓ。

下の図のような底面が正六角形で高さが54cmの正六角柱の密閉された容器があります。

この容器に水が2160cm³ 入っています。いま、この容器を辺BC、FEが水平な床に対して垂直になるように手で支えると、水面が長方形BFLHとなりました。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 底面の正六角形の面積は何cm² ですか。
(2) 水平な床に辺IJがくっつくように容器を傾けて、水面を四角形CDKHにするためには、水を何cm3 捨てればよいですか。
(3) 水平な床から点Jが離れないように容器を傾けて、水面が3 点D、H、Lを通る平面になるようにするためには、(2)の状態から水を何cm3 加えればよいですか。

【解説と解答】
(1) 2160÷54＝40cm2が五角形BCDEFの面積です。

五角形BCDEFは図のように、正六角形ABCDEFの6分の５になるので。
40÷５×6＝48cm²
(答え) 48cm²

(2) 図２の斜線部に水が入ります。Pを正六角形ABCDEFの中心、Oを正六角形GHIJKLの中心とするとPを三角錐HOICと三角錐OJKDは8×54÷３＝144cm³

図３のように四角錐OIJDCは三角柱OIJCPDから三角錐CPDOを引くので、合計すると三角柱OIJCPDと三角錐HOICの合計に等しくなるので、144＋8×54＝144＋432＝576ですから、
2160－576＝1584cm³の水を捨てます。
（答え）1584cm³
（３）求める立体は図４の切断三角柱DRKIQと四角柱RKLQIHです。

QIは図５のようにJS：IH＝１：２ですから54×2/3＝36cmです。
したがって切断三角柱DRKIQは
８×（54＋36＋36）×1/3＝336
四角柱RKLQIHは８×４×36÷２＝576
336＋576－576＝336cm³足せばよいことになります。
（答え）336cm³

2024年　第2回　算数3（2）です。

右の図のように，長方形ＡＢＣＤを直線で面積の等しい5 つの図形に分けました。ＢＣの長さが13cmのとき，ＡＦの長さは何cmですか。

【解説と解答】

図で、ACは全体の長方形を2等分するので、１つの三角形の面積を【1】とすれば、三角形ABC＝【5】÷２＝【2.5】になるから、AH：HB＝2.5－１：１＝３：２
EからBCに平行に線を引き、ABとの交点をPとすると、三角形AHE
と三角形HBCが同じ面積なので、PE：BC＝２：３　
Eを通り、ABに平行な直線を引き、ADとの交点をQ、BCとの交点をRとすると、
AB＝（５）AH＝（３）、HB＝（２）PE：BC＝２：３から
HP＝（２）×＝（）から、ER＝（２）－（）＝（）
QE＝（５）－（）＝（）
AF×（）＝（２）×13cmよりAF＝６cm
（答え）6cm

2024年第2回　算数4番です。

１を超えない分数を、分母が１であるものから順に、分子も小さい順になるように並べると、以下のようになります。

・・ ・・・・・・・・・・・

このとき、次の問に答えなさい。

（１）分母が455であるような既約分数（それ以上約分できない分数）は何個ありますか。
（２）はじめから455番目の分数を答えなさい。
（３）はじめから455番目までの分数の和はいくつですか。

【解説と解答】
（１）

455＝5×７×13ですから、分子が、１～455の中で、５でも７でも13でも割り切れない数が既約分数になります。
455÷５＝91　455÷７＝65　455÷13＝35
455÷35＝13　455÷65＝７　455÷91＝5
から
ア＝１　イ＝13－１＝12　ウ　5－１＝4
エ＝7―１＝６　オ＝91－１―12―６＝72
カ＝65－１－12―4＝48
キ＝35－１－4－6＝24から
１＋12＋4＋6＋72＋48＋24＝167
455－167＝288

（答え）288個

（２）１～30までの和は（１＋30）×30÷2＝465
１～29までの和は（1＋29）×29÷2＝435から
455番目の分数は455－435＝20なのでです。
（答え）

（３）分母が１の分数の和は１、分母が２の分数の和は1.5、分母が3の分数の和は２と0.5ずつ増えていきます。
分母が29の分数は435÷29＝15ですから、ここまで
（１＋15）×29÷２＝232
分母が30の分数は１～20までなので、分子の和は（１＋20）×20÷２＝210
210÷30＝７から232＋７＝239
（答え）239

【解説動画】

2024年　第1回　算数4番です。

A、B、Cの3人は、夏休みに文化祭の来場者に渡すしおりを作ることにしました。
しおりを作る速さはそれぞれ一定ですが、誰かと一緒に作業するとおしゃべりをしてしまうため、それぞれの作業の速さが0.8倍になってしまいます。予定枚数を作るにあたり、以下のことが分かっています。
①A→B→C→A→B→C→…の順にそれぞれ1人で6分ずつ作業すると、最後はBが6分作業したところで予定枚数を作り終える。
②B→C→A→B→C→A→…の順にそれぞれ1人で6分ずつ作業すると、①よりも2分多くかかる。
③C→A→B→C→A→B→…の順にそれぞれ1人で6分ずつ作業すると、①よりも2分少なくてすむ。
④AとB→BとC→CとA→AとB→BとC→CとA→…の順にそれぞれ2人で6分ずつ作業すると、3時間8分で予定枚数を作り終える。

このとき、次の問いに答えなさい。
(1)A、B、Cがそれぞれ1人で、6分間作業したときに作ることができるしおりの枚数の比をもっとも簡単な整数で答えなさい。
(2)A、B、Cがはじめから3人で作業すると何時間何分で予定枚数を作り終えますか。
(3)A、B、Cの3人で作業をはじめましたが、1時間48分が経過した後、Aは旅行に行くため以後の作業に加われなくなり、また、Bは少し休憩をしてから作業に戻りました。予定枚数を作り終えるのにすべて3人で作業するときよりも19分多くかかったとすると、Cが1人で作業していた時間は何分間ですか。

【解説と解答】
（１）条件の①で、Aから始めるとBが６分やったところで終わるので、この時間は6分の倍数です。
全体の仕事＝ABC×ｎ回＋A6分＋B6分…⑤
条件の②でＢからスタートすると、ABCがｎ回やって、次がBで、次がCです。最後に2分Aがやって仕事がおわりますから、
全体の仕事＝ABC×ｎ回＋B6分＋Ｃ6分＋Ａ２分…⑥
同様に③の条件では
全体の仕事＝ABC×ｎ回＋Ｃ6分＋Ａ4分…⑦
⑤と⑥からＡ6分＝Ｃ6分＋Ａ2分からＡ4分＝Ｃ6分なので、Ａ：Ｃ＝３：２
⑥と⑦からB6分＋A2分＝A4分からA2分＝B6分なので、A：B＝３：１
したがってA：B：C＝３：１：２
（答え）３：１：２

（２）ABCそれぞれ６分あたり【3】、【1】、【2】の仕事をすると、
AとBが【4】、BとCが【３】、AとCが【5】になるので1周で【12】ですが、能率が0.8倍になるので、【9.6】。3時間8分＝188分ですから、188÷18＝10…８分で【4】×0.8＋【3】×0.8×で終わるから、
【9.6】×10＋【3.2】＋【0.8】＝【100】が全体の仕事になります。
【100】÷｛（【3】＋【1】＋【2】）×0.8｝＝より６×＝125分＝2時間5分
（答え）2時間5分

（３）ABCで3人だと【4.8】、BとCだと【2.4】、Cだけだと【2】です。
合計で2時間5分＋19分＝2時間24分かかったので、144分ですから6分で割ると24単位。1時間48分÷６分＝18単位ですから、残り６単位。
【4.8】×18＝【86.4】から、
６単位で【100】－【86.4】＝【13.6】の仕事をします。
全部Cだと【13.6】－【2】×６＝【1.6】不足するので、
【1.6】÷（【2.4】－【2】）＝4単位だからCだけでやったのは６－４＝2単位で、
６×２＝12分です。
（答え）12分

2024年　第1回の問題です。

AからBまでは上り坂、BからCまでは平らな道、CからDまでは下り坂となっている登山コースがあります。花子さんはA地点から、よし子さんはD地点から同時に出発したところ、1時間45分後に花子さんが平らな道をだけ進んだところで2人は出会いました。また、花子さんがD地点に着いた5分後によし子さんがA地点に着きました。 2 人はどちらも上り坂を時速 1.5km、平らな道を時速 3km、下り坂を時速2kmで進みます。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)よし子さんが B 地点に着いたのは、花子さんがC地点に着いてから何分後ですか。
(2)花子さんが A 地点を出発してからD地点に着くまでに何時間何分かかりましたか。
(3)2 人はしばらく休んだ後、再び同時に出発し、来た道を戻りました。しかし、途中で雨が降り始めたため、すぐに花子さんは残りの上り坂と平らな道を進む速さだけ倍にしました。また、よし子さんは下り坂を進む速さだけ倍にしたところ、花子さんがA地点に着くと同時によし子さんがD地点に着きました。 雨が降り始めたのは2人が再び出発してから何分後ですか。

【解説と解答】
（１）

二人とも上り、下り、平地での速さは同じです。したがってAからBまでとCからDまでの距離が同じであれば、BCの中央で出会いますが、BからBCの5/6で出会っているので、CDの方がABよりも長いことがわかります。ABとCDの差（図のEDの距離）を花子さんは下り、よしこさんは上りますから、1.5：２＝３：４なので、かかる時間は花子さん：よし子さん＝３：４です。この差が5分ですから、花子さんは15分で下るので、２×＝0.5kmがEDの距離になります。0.5kmをよし子さんがのぼるのに0.5÷1.5×60＝20分かかるので、よし子さんがCに着くのは、花子さんがBに着いてから20分後です。したがってよし子さんは花子さんがＣについてから20分後にＢに着きます。
（答え）20分後
（２）BC間を【6】とすれば、出会うまでに花子さんは【5】、よし子さんは【1】動いているので、花子さんは【4】の距離を20分で移動したことになるから、【6】の距離は20÷４×６＝30分かかります。
花子さんはBから出会うまでに25分かかるので、AからBまで1時間45分－25分＝1時間20分ですから、ABは1.5×＝2kmです。
CDは２＋0.5＝2.5kmですから、2.5÷２＝1.25＝1時間15分かかるので、1時間20分＋30分＋1時間15分＝3時間5分

（答え）3時間5分
（3）速さが変わった後は、花子さんは上りが1.5×＝1.8km、
平地が3×＝3.6kmです。よし子さんは下りが２×＝2.5kmです。
よし子さんがCからDに下るのはすべて時速2.5kmですから、2.5÷2.5＝1時間。２÷1.5＋30分＋1時間ですから、2時間50分かかっています。
花子さんはABを下るのが２÷２＝1時間、平地が1.5÷3.6×60＝25分ですから、DからCに上るのに2時間50分－1時間－25分＝1時間25分＝時間です。CD間は2.5kmですから
（1.8×－2.5）÷（1.8－1.5）＝時間＝10分が1.5kmで動いた時間です。
（答え）10分後

【解説動画】

2024年洗足学園第1回の問題です。

園子さんは、図1のようなモービルのつりあいに興味を持ち、実験をしました。実験で使用する棒や糸の重さや太さは無視できるものとし、棒や円盤はおもりをつるしても、変形したり角度が変化したりしないものとします。また、必要であれば、図2の三角形の対応する辺の長さの比を使用しなさい。小数第2位以下がある場合は、四捨五入して小数第1位まで答えなさい。

【実験1】
図3のように、はしから3cmのところでいろいろな角度に曲げて固定できる9cmの棒の両端に、様々な重さのおもりをつるした。棒が静止したときの角A、角Bの大きさ、おもりC、Dの重さを記録し、その結果を表1にまとめた。図のL1、L2は、支点を通る水平面におもりC、Dをつるしている糸の延長線がぶつかる点と、支点との距離を表している。 L1やL2を『おもりと支点の水平方向の距離』とする。

（１）　表１の（あ）に当てはまる数値を答えなさい。

（２）　実験１－２および実験１－３のL1の長さはそれぞれ何cmですか。

（３）【実験１】の結果から園子さんは、棒が静止しているとき、『おもりと支点の水平方向の距離』と『おもりの重さ』に関係があると気づきました。どのような関係があるか、［L1］、［L2］、「重さ」を用いて文章で答えなさい。

（４）　表１の（い）に当てはまる数値を答えなさい。

園子さんは【実験1】の結果をもとに、図4のようなモービルをつくりました。棒は【実験1】で使用した棒を2本と、真ん中でいろいろな角度に曲げて固定できる9cmの棒を1本使用しました。

(5) 図4の角Eが次の①、②の角度で静止しているとき、F～Hはそれぞれ何gですか。

① 30度 ② 60度

園子さんは図5のように、壁に中心を固定してなめらかに回転できるようにした円盤を用いて同様の実験ができると考えました。円盤の半径を10cmとします。

【実験2】
おもりJを円盤のふちにつるし、おもりJが動かないように、もう1つのおもりKを円盤の中心から長さL3の位置につるした。このときの角Iの大きさ、おもりJ、Kの重さ、L3の長さをはかり、その結果を表2にまとめた。

(6) 表2の(う)、(え)に当てはまる数値を答えなさい。

【解説と解答】
モービルのつりあいは、棒の重さを無視できる場合、支点からの水平距離×重さが等しくなればつりあいます。

（1）角度がともに0°であれば、水平距離はL1＝3cm、L2＝6cmですから、3×（あ）＝6×15＝90より（あ）＝30ｇ
（答え）30g

（2）角度が同じであればL1：L2＝1：2になるので、図2からL1：3＝1.7：2ですからL1＝3×1.7÷2＝2.55≒2.6･･･から2，6cm
これも角度が同じですが、45°ですから、直角二等辺三角形になるのでL1：3＝1：1.4からL1＝3×1÷1.4＝2.14≒2.1cm
（答え）（実験1−2）　　　2.6cm　　　（実験1−3）　2.1cm

（3）L1×Ｃの重さ＝L2×Dの重さです。
（答え）L1とおもりCの重さの積はL2とおもりDの積に等しい。

（4）51：15＝17：5ですからL1：L2＝5：17です。Aが60°ですから、L1＝3÷2＝1.5cmなので、L2＝5.1cmです。したがって角Bは図2の右側の三角形になり30°です。
（答え）30°

（5）①　角Eが30°であれば、L1＝L2ですからH＝30g　その上のモービルにかかる重さは30×2＝60g
上のモービルはL1：L2＝1：2ですから左端にかかる重さは60×2＝120g。それをF：G＝1：2に分けるので、F＝120÷（1＋2）×1＝40g　G＝120−40＝80g
（答え）F　40g　G　80ｇ　H　30g

②　角Eが60°になるとL1；L2＝1:1.7になるので、30×1.7÷1＝51gがH。その上のモービルにかかる重さは51＋30＝81g
このモービルの左端の重さは81×2＝162g　162gをF：G＝1：2に分けるので、F＝162÷（1＋2）×1＝54g　G＝162ー54＝108g
（答え）F　54g　G　108g　H　51g

（6）実験2−1では、重りの比がJ：K＝1：2になっているので、Kの水平距離は5cmです。L3＝10cmですから、2：1になるので角I＝60°です。
実験2−2では、8cmで30°ですから水平距離の比は、図2の右側の三角形と同じで、その比は2：1.7ですから、水平距離は8÷2×1.7＝6.8cmです。
10×17＝6.8×（え）ですから（え）＝170÷6.8＝25g
（答え）（う）　60　（え）25

解説動画

常に一定の量の水が流れ込んでいる貯水池があります。この貯水池が満水の状態から空になるまで排水するのに、6 台のポンプでは 350分、5台のポンプでは450分かかります。ところが、貯水池の内壁にヒビが入り、貯水池の水の量が5 割を超えると、常に一定の水がもれるようになりました。この状態で 5 台のポンプを使って満水から空になるまで排水したところ、435 分かかりました。このとき、内壁のヒビからもれる水の量は、ポンプ 1 台あたりの排出量の何倍ですか。ただし、ポンプ 1 台が排出できる水の量はすべて同じであるものとします。

【解説と解答】
満水の水＋350 分間の流入量＝ポンプ６×350 分＝ポンプ×2100 分
満水の水＋450 分間の流入量＝ポンプ５×450 分＝ポンプ×2250 分
100 分の流入量＝ポンプ150 分から1 分あたりの流入量を【3】とすると、
ポンプは1 台1 分で【2】の水を出します。
したがって満水の水は【2】×2100－【3】×350＝【3150】
半分はもれないので、【3150】÷２＝【1575】
【1575】÷（【10】－【3】）＝225 分が、もれずに半分を出す時間。
したがって、もれたのは435—225＝210 分間です。
435 分で5 台のポンプが出す水の量は【10】×435＝【4350】
また435 分で流入した水は【３】×435＝【1305】
【3150】＋【1305】－【4350】＝【105】が漏れた水ですから、
1 分当たり【105】÷210＝【0.5】
【0.5】÷【2】＝1/4

（答え)1/4倍

2024年　第1回　算数3（3）です。

Ａ、Ｂ、Ｃの3 人がスタートから7km走ったところで折り返し、同じ道を戻ってゴールする14km のマラソン大会に参加しました。3 人は同時にスタートし、ゴールまでそれぞれ一定の速さで走りました。ＡとＢの速さの比は5：4 です。Ａは6km走ったところでＣとすれ違い、Ｂはスタートから43 分45 秒後にＣとすれ違いました。このとき、ＢがゴールしたのはＡがゴールしてから何分何秒後ですか。

【解説と解答】
Aが6km走ったとき、Cは14－6＝8km走っているので、速さの比は
A：C＝６：８＝３：４です。
A：Bの速さの比が５：４ですから、3人の速さの比は
A：B：C＝15：12：20になります。
したがってB：C＝３：５ですから、二人がすれ違った場所は、
14÷（3＋5）×３＝5.25kmとなるので、
5.25÷43.75＝0.12kmがBの分速です。
Bは14÷0.12＝350/3分かかります。速さの比がA：B＝５：４であれば、同じ距離にかかる時間の比は４：５ですからAとBの差はBのかかる時間の1/5になるので、
350/3×1/5＝70/3分＝23分20秒
（答え）23分20秒

四角形ABCDは長方形です。直線BEと直線FDが平行の時、三角形ＡＢＧ と三角形ＦＤＨの面積の比を最も簡単な整数で答えなさい。

【解答と解説】
BC＝４＋８＝12cmで、三角形AEGと三角形BGCの相似から EG：GB＝４：12＝１：３

EBとFDが平行なので、三角形AGEと三角形AFDは相似で、その比は ４：12＝１：３だからGE＝１のときFD＝３

三角形ABEと三角形HFDは相似で、BE：FD＝４：３だから面積比は 4×４：３×３＝16：9

三角形ABGはEG：GB＝１：３から16×3/4＝12になるので、 三角形ABG：三角形HFD＝12：9＝4：３

（答え）４：３

2024年第1回　算数　3の（2）です。

立方体ABCDEFGHがあります。辺AB上にAP：PB＝１：３となる点を、辺BF上にBQ：QF＝１：１となる点Qをとります。また、点Pと点Qを結んだ直線上に点Rをとります。三角形RQGの面積は、３点P、Q、Gを通る平面で立方体をきったときの切り口の面積の1/3倍になりました。このとき、PRとRQの長さの比を最も簡単な整数で答えなさい。

【解説と解答】
図のようにPQGの平面が切れますので、切り口は緑の部分になります。
立方体の一辺を④とすると、PB＝③
BQ＝②ですから、XC：CG＝３：２なのでXC＝⑥、XD＝②　AP＝①ですから
AY：YD＝１：２になります。
下図は、それを垂直な線上から見た図です。このとき、IJQGは平行四辺形になります。JY：YI＝AY：YD＝１：２でJはPQとAEを延長した交点です。
全体の平行四辺形に対して、三角形YJPは1/2×1/3×1/4＝1/24ですから、緑色の部分は、平行四辺形の１－1/24＝23/24
三角形RQGはその3分の1なので23/72
三角形PQGの面積は1/2×3/4＝3/8ですから
三角形PRGは3/8－23/72＝4/72となるので、
PR：RQ＝4：23
（答え）４：23