2023年第2回の問題です。

下の図のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを赤，青，黄，緑を使って，隣り合う部分は違う色になるようにぬり分けます。このとき，ぬり方は全部で何通りありますか。ただし，4 色すべてを使う必要はありません

【解説と解答】
（１）4色で塗り分ける場合は４×３×２×１＝24通り
（２）3色で塗り分ける場合
AとDが同じ色→4×３×２＝24通り
AとCが同じ色→４×３×２＝24通り
2色以下で塗り分けられないので、24×３＝72通り
（答え）72通り

AさんとBさんは，山を越えてとなり町まで歩きます。ＡさんはＸ町を出発し頂上で30 分の休けいをとってＹ町へ，ＢさんはＡさんが出発した1 時間後にY 町を出発し，頂上で30 分の休けいをとってＸ町へ行き，ＢさんはＡさんがＹ町へ着く前にＸ町に着きました。
ＡさんとＢさんは，上り道でも下り道でもそれぞれ一定の速さで歩き，上り道では下り道の3/4倍の速さで歩きます。下のグラフは，Ａさんが出発してからの時間とＡさんとＢさんの間の道のりを表しています。このとき，次の問いに答えなさい。

（１） グラフのアにあてはまる数を答えなさい。
（２） ＡさんとＢさんの上り道を歩く速さの比を，最も簡単な整数の比で答えなさい。
（３） ＡさんとＢさんがすれ違った場所をＺ地点とするとき，Ｘ町からＺ地点とＹ町からＺ地点の道のりの比を，最も簡単な整数の比で答えなさい。なお，この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図を書きなさい。

【解説と解答】

（１）グラフの最初の点は60分です、グラフが時間の軸に平行になっていないとこから、二人が同時に動いていないところはありません。したがって次の点はどちらかが頂上に到着した点なので、100分となり、130分で出発し、その後アの時間にどちらかが頂上について190分後に出発したことになりますから、アは160分です。
（答え）160
（２）190分でBさんが出発し、235分で到着すると45分ですから、Bさんは同じ距離を上るのに60分かかることになります。130の前の点はAさんが頂上に到着し、130分はAさんが頂上を出発した時間になるので、Aさんが頂上に到着した時間は100分。
したがって速さの比はA：B＝３：５です。
（答え）3：5
（３）Aさんの上りの分速を【3】とすると、下りは【4】ですから、
Xから頂上までは【3】×100＝【300】です。
一方Aさんが頂上を出発するとき、Bさんは70分歩いているので、【5】×70＝【350】のところにいます。Bさんがのぼるのにかかった時間は160－60＝100分ですから、Y町から頂上までは【500】あります。したがってAさんが頂上を出発したとき、二人の距離は【500】－【350】＝【150】で、1分間に【4】＋【5】＝【9】縮まるから、二人がすれ違った場所は【150】÷【9】＝50/3分　だから頂上から
【4】×50/3＝【200/3】下になるので、Yからは【500】－【200/3】＝【1300/3】がZ
Xからは【300】＋【200/3】＝【1100/3】だからXZ：ZY＝11：13
（答え）11：13

次のように、白と黒のカードを並べていきます。

20番目のときの、白と黒の枚数の差は何枚ですか。

【解説と解答】
外側に増える1周はｎ番目のとき、ｎ×２＋（ｎ－１）×２－１＝４×ｎ－３
となります。
黒は奇数番目に増え、白は偶数番目に増えます。

番号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
黒 １ １ 10 10 27 27 52 52
白 0 5 5 18 18 39 39 68
差 1 4 5 8 9 12 13 16

となり偶数番目は４、８、12、16と等差数列になるので、20番目は
4＋４×9＝40

（答え）40枚

2022年　第2回の出題です。

下の図のように、１辺の長さが10cmの正八角形の各頂点を中心に、半径10cmの円を８個書きました。このとき、図の斜線部分の面積と色のついた部分の面積の差は何cm２ですか。

【解説と解答】

図のように、赤と青の正三角形は同じなので、その差は外側が
105×8＝840°
内側が
15×8＝120°
で720°分の差があります。
したがって面積の差は10×10×3.14×720/360＝628

（答え）628cm2

2022年　第2回の出題です。

体育館で学年集会を行うことになりました。９人がけの長いすを使って、全員が前から順に着席していきます。ただし人と人の間隔を１メートル以上空ける必要があるため、９人がけの長いすには１つおきにしか座れません。図１のように５人ずつ座ると長いすの数が少なくてすみますが、図２のように前から５人、４人、５人、…と交互に座ると長いすと長いすの間隔をせまくできます。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）学年の生徒数が240人のとき、図２のように座ると、図１のときに比べて長いすは何脚多く必要ですか。
（２）学年の生徒数が（　　　）人のとき、図１のときと図２のときの長いすの数の差が３脚で、どちらも最後列の長いすに座る人数が４人でした。（　　　）に入る数として考えられるものをすべて答えなさい。
（３）図１のときと図２のときの長いすの数の差が４脚のとき、考えられる生徒数として最も少ないのは何人ですか。

【解説と解答】
（１）240人の場合、図１のようにすわると長椅子は240÷5＝48脚いります。
一方図２の場合は240÷9＝26.…6ですから、２×26＋２＝54脚いります。
54－48＝６脚
（答え）６脚
（２）図１のときの長椅子の数を【1】とすると、
生徒の数は5×【1】－１＝【5】－１となります。
図２の場合、最後の長椅子が4人ですが、それが（ア）5人がけの場合と（イ）4人がけの場合で違います。
（ア）人数は（【1】＋２）÷２×9＋４＝【4.5】＋13
（イ）人数は（【1】＋３）÷２×9＝【4.5】＋13.5
（ア）の時【5】－１＝【4.5】＋13から【0.5】＝14　【1】＝28となるので、
人数は28×5―１＝139人
（イ）のときは【4.5】＋13.5＝【5】－１　【0.5】＝14.5から【1】＝29となるので、29×５－1＝144人
（答え）139人、144人
（３）図２の座り方で、図１の座り方との差が一番小さくなることを考えます。
図１の座り方ですべての椅子が5人がけになったとき、図２の座り方ではそれより４つ椅子が多いので、
（ウ）図１の座り方が奇数の場合
残りの４つの椅子は４＋５＋４＋１＝14人が最小になります。
（エ）図１の座り方が偶数の場合
残りの４つの椅子は5＋４＋５＋１＝15人が最小になります。
（ウ）２つの椅子で1人の差ができるので、14人の差ができるのは
図１の座り方で２×14＋１＝29脚　このとき図１の座り方では145人、図２の座り方でも（29＋1）÷２×9＋５＋４＋１＝135＋10＝145人になります。
（エ）15人の差ができるので、図１の座り方でいすの数は15×２＝30脚になるので、
図１の座り方で５×30＝150人　図２の座り方で9×30÷２＋15＝150人
したがって一番少ない人数は145人
（答え）145人

2022年第1回の出題です。

ある品物を500個作る仕事を、ＡとＢの２人が毎日行うと56日目に終了します。同じ仕事をＡとＣの２人が毎日行うと46日目に終了し、ＢとＣの２人が毎日行うと42日目に終了します。Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ１日に何個の品物を作りますか。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃが１日に作る品物の個数はそれぞれ一定で、整数であるとします。なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

【解説と解答】
A×56＋B×56＞500からA＋B≧９　A＋B＝10とすると50日で作り終えるので、
A＋B＝９
A×46＋C×46＞500からA＋C≧11　A＋C＝12とすると、42日で作り終えるので
A＋C＝11
B×42＋C×42＞500からB＋C≧12　B＋C＝13とすると、39日で作り終えるので
B＋C＝1２
A＋B＋C＝（9＋11＋12）÷２＝16
C＝７、B＝５、A＝４

（答え）A４　B５　C７

2022年第1回の問題です。

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人のうち１人だけ赤い帽子をかぶり，残りの３人は白い帽子をかぶっています。この４人が縦に１列に並んで次のような発言をしました。
　Ａ「私のすぐ後ろの人は赤色の帽子だ。」
　Ｂ「Ｄは私より前にいる。」
　Ｃ「私の帽子は白色だ。私より前の人は全員白色の帽子だ。」
　Ｄ「私のすぐ後ろの人は白色の帽子だ。」
この発言がすべて正しいとき，４人の並んでいる順を前から順に答えなさい。

【解説と解答】
条件を並べてみます。
Aのすぐうしろは赤→Aは赤ではない→Aは白
DはBより前
Cは白、Cより前は白
Dのうしろは白、
から赤はDかBです。
Bが赤だとすると、Bの前はA、Dは1番目か2番目で白、Cの前は白、だからCが2番目、Dが1番目となります。
D（白）C（白）A（白）B（赤）
Dが赤だとすると、Aの後ろがD、DのうしろがC（白）かB（白）
A（白）D（赤）B（白）C（白）にするとCの前が全員白にならないので×。
A（白）D（赤）C（白）B（白）でもCの前が全員白にならないので×。
したがって答えはD（白）C（白）A（白）B（赤）
（答え）DCAB

2022年洗足学園第3回の問題です

花子さんは３種類のノートＡ，Ｂ，Ｃを合計30冊買い，代金は6900円でした。１冊の値段はＡが300円，Ｂが240円，Ｃが165円です。ＡはＢの２倍より６冊少なく買ったとすると，Ｃは何冊買いましたか。ただし，価格はすべて税込みで考えます。なお，この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

という問題でした。

記述式なのですが、洗足の採点は「答えが間違っていた時に記述を見て部分点を決める」ということになっています。だからあまり詳しく書きすぎて時間をロスするのはもったいない。ここでは面積図などを書いてしまう方が簡単に解けて説明ができるかもしれません。

解答としてはつるかめ算を使ってしまうのが簡単で、以下のようになります。

AがBの2倍より６冊少ないので、300×６＝1800円加えると
6900＋1800＝8700円が全体になります。全部Cとすると６冊足したので全体が36冊になるから
165×36＝5940なので、差は8700―5940＝2760
AがBの2倍になっているので（300―165）×【2】＋（240―165）×【1】
＝【270】＋【75】＝【345】が2760円だから
2760÷345＝８
36―8×３＝12
（答え）12冊

これを面積図に書いてしまって、最後の部分の式だけを載せる、ぐらいで説明が済めば時間的にはそれほど時間がかからないでしょう。

2022年洗足学園第3回の問題です。

Ａ，Ｂの２つのコップがあり，Ａには食塩水，Ｂには水がそれぞれ400ｇずつ入っています。いまＡからＢに100ｇ移してよく混ぜてから，ＢからＡに100ｇ移したところ，Ａは濃度４％の食塩水になりました。最初にＡには何％の食塩水が入っていましたか。

【解説と解答】
Aに入っていた食塩を【4】とすると、100g移したのでBには【1】だけ行きます。
そのあとBからAに100g入れると全体が500gになっているので、BからAに100g入れると【0.2】食塩が戻ります。
Aの重さは400gで、濃度が4％だと食塩は16gでこれが【4】－【1】＋【0.2】＝【3.2】ですから【1】＝５g
したがってAに入っていた食塩は20gですから。20÷400×100＝５％
（答え）５％

2022年第2回の出題。

図１の形をした容器に，水が深さ２cmまで入っています。この中に，底面の直径が２cm，厚さ１cmの円柱の形をしたコインを，図２のように４個ずつ積み上げた状態で全部で２００個を容器に並べます。水面の高さは何cmになりましたか。ただし，このコインは水にしずみます。

【解説と解答】
問題はコインが水面の上に来るか、全部水没するか、です。
水槽の底面積が21×17＝357
コインが占める底面積は200÷4＝50枚分ですから、
1×１×3.14×50＝157　したがって水が入る部分はちょうど200cm2になります。
水の体積は357×2＝714　714÷200＝3.57となり、4cmより小さいのでコインは全部水没していません。
（答え）3.57cm